查询乡镇事业编人员的方法有以下几种：

直接咨询事业单位

可以通过电话或者现场咨询的方式直接向事业单位的人力资源部门或招聘办公室进行查询。

上网查询

可以登录事业单位的官方网站，一般都会在网站上公布在编人员的名单或者招聘信息。有些地区也会在政府网站上公示。

查询招聘公告

对于最近招聘的岗位，招聘公告中一般会列出该岗位的编制情况，这也可以帮助你了解事业单位在编人员的情况。

通过事业单位委托的人事代理机构查询

部分事业单位委托人事代理机构进行招聘，在这种情况下，可以通过人事代理机构查询相应的在编人员情况。

通过政府公示网站查询

政府网站会定期公示事业单位在编人员名单，可通过各级政府公示网站查询。

通过网络招聘平台查询

许多事业单位会在网络招聘平台发布招聘信息，其中会有在编人员的详细信息，可通过平台查询。

通过编制部门网站查询

可以登录当地编制部门网站，查找编制实名制的公示信息，通常编制是落实到科室的，很容易找到。

通过组织人事科查询

可以通过自己所在的单位组织人事科查询编制信息。

通过人社局查询

可以通过当地的人社局查询编制信息。

通过组织部门查询

可以通过当地的组织部门查询编制信息。

查询任职文件或录用文件

可以在网上查询是否有任职文件、录用文件等资料，这些文件通常会记录编制信息。

建议选择以上方法中的一种或几种进行查询，以确保查询结果的准确性和可靠性。