数学专业的学生在暑假可以学习以下课程：

数学基础课程

数学分析：理解极限、连续、导数和积分等基本概念。参考教材包括《数学分析》（刘继志等编，北师大出版社）和《数学分析》（史济怀老师，中国科学技术大学出版社）。

高等代数（或线性代数）：学习向量空间、矩阵、线性变换等。参考教材包括《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨著）。

解析几何：掌握点、线、面、圆锥曲线等几何对象的性质。

扩展知识

离散数学：涉及集合论、图论、逻辑等概念。

概率论与数理统计：学习概率分布、统计推断等知识。

计算机相关知识 （如果选择数学与应用数学专业）：

C语言：编程语言，用于算法实现和数据处理。

VMware：虚拟机软件，用于模拟硬件环境。

MySQL：关系型数据库管理系统，用于数据存储和管理。

专业方向选修

数学与应用数学：

包括基础数学和应用数学两方面，研究数学本学科的基本理论与发展规律，以及由实际问题引发的数学理论。

统计学：应用数学的一个分支，涉及数据分析、概率论、统计推断等知识。

科研竞赛

参加数学建模竞赛、数学竞赛、院校各级别的本创、互联网+等各项竞赛活动，为保研增添筹码，也是丰富经历、充实暑期生活的有效办法。

建议

夯实基础：暑假期间可以重点复习数学分析和高等代数这两门基础课，重视基础概念和定理的理解。

扩展视野：可以选修一些扩展知识课程，如离散数学、概率论与数理统计等，以拓宽知识面。

实践应用：如果选择数学与应用数学专业，可以学习一些计算机相关知识，提升自己的实践应用能力。

参与竞赛：参加各类科研竞赛，不仅可以锻炼自己的数学能力，还能为未来的学术或职业生涯积累经验。