伴随矩阵 （ A^* ） 的求法如下：

伴随矩阵的定义

伴随矩阵 （ A^* ） 是由矩阵 （ A ） 的所有代数余子式构成的矩阵，并进行转置。

代数余子式 （ A_{ij} ） 是去掉矩阵 （ A ） 的第 （ i ） 行第 （ j ） 列后得到的 （ （n-1） times （n-1） ） 矩阵的行列式，再乘以 （ （-1）^{i+j} ）。

计算步骤

构造余子式 （ M_{ij} ）：去掉矩阵 （ A ） 的第 （ i ） 行第 （ j ） 列，得到 （ （n-1） times （n-1） ） 矩阵的行列式 （ M_{ij} ）。

计算代数余子式 （ A_{ij} ）：将 （ M_{ij} ） 乘以 （ （-1）^{i+j} ）。

构造伴随矩阵 （ A^* ）：将 （ A_{ij} ） 放在 （ A ） 的第 （ j ） 行第 （ i ） 列。

公式表示

伴随矩阵 （ A^* ） 的元素可以表示为 （ A_{ij} = （-1）^{i+j} cdot M_{ij} ），其中 （ M_{ij} ） 是去掉第 （ i ） 行第 （ j ） 列后的 （ （n-1） times （n-1） ） 矩阵的行列式。

伴随矩阵的行列式为 （ |A^*| = |A|^{n-1} ）。

与逆矩阵的关系

矩阵 （ A ） 的逆矩阵 （ A^{-1} ） 可以表示为 （ A^{-1} = frac{1}{|A|} A^* ）。

示例

假设有一个 （ 3 times 3 ） 矩阵 （ A ）：

[ A = begin{pmatrix}

a & b & c

d & e & f

g & h & i

end{pmatrix} ]

1. 计算余子式 （ M_{ij} ）：

（ M_{11} ） 是去掉第1行第1列后的 （ 2 times 2 ） 矩阵的行列式。

（ M_{12} ） 是去掉第1行第2列后的 （ 2 times 2 ） 矩阵的行列式，并乘以 （ （-1）^{1+2} ）。

（ M_{13} ） 是去掉第1行第3列后的 （ 2 times 2 ） 矩阵的行列式，并乘以 （ （-1）^{1+3} ）。

以此类推，计算所有 （ M_{ij} ）。

2. 计算代数余子式 （ A_{ij} ）：

（ A_{11} = （-1）^{1+1} cdot M_{11} ）

（ A_{12} = （-1）^{1+2} cdot M_{12} ）

（ A_{13} = （-1）^{1+3} cdot M_{13} ）

以此类推，计算所有 （ A_{ij} ）。

3. 构造伴随矩阵 （ A^* ）：

将 （ A_{ij} ） 放在 （ A ） 的第 （ j ） 行第 （ i ） 列。

通过以上步骤，可以求出矩阵 （ A ） 的伴随矩阵 （ A^* ）。