公垂线是指与两条异面直线都垂直的直线。在三维空间中，给定两条异面直线AB和CD，我们可以通过以下步骤计算它们之间的公垂线在各自直线上的垂足坐标：

确定方向向量

直线AB的方向向量 $vec{AB} = （B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z）$

直线CD的方向向量 $vec{CD} = （D_x - C_x, D_y - C_y, D_z - C_z）$

计算叉积

公垂线的方向向量 $vec{N} = vec{AB} times vec{CD}$

计算垂足坐标

设直线AB上的点A的坐标为 $（A_x, A_y, A_z）$，直线CD上的点C的坐标为 $（C_x, C_y, C_z）$

垂足M在直线AB上，其坐标为 $（X_m, Y_m, Z_m）$，满足 $vec{AM} = t_1 cdot vec{AB}$

垂足N在直线CD上，其坐标为 $（X_n, Y_n, Z_n）$，满足 $vec{CN} = t_2 cdot vec{CD}$

具体计算公式如下：

$X_m = A_x + t_1 cdot （B_x - A_x）$

$Y_m = A_y + t_1 cdot （B_y - A_y）$

$Z_m = A_z + t_1 cdot （B_z - A_z）$

$X_n = C_x + t_2 cdot （D_x - C_x）$

$Y_n = C_y + t_2 cdot （D_y - C_y）$

$Z_n = C_z + t_2 cdot （D_z - C_z）$

$t_1$ 和 $t_2$ 是参数，可以通过向量 $vec{AM}$ 和 $vec{CN}$ 与 $vec{N}$ 的关系来确定。

总结：

方向向量 $vec{N} = vec{AB} times vec{CD}$

垂足M的坐标 $（X_m, Y_m, Z_m） = A + t_1 cdot vec{AB}$

垂足N的坐标 $（X_n, Y_n, Z_n） = C + t_2 cdot vec{CD}$

这些公式可以帮助我们计算出两条异面直线之间的公垂线在各自直线上的垂足坐标。