偶函数的导数一定是奇函数。奇函数是指对于一个概念域关于原点对称的函数f（x）的概念域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

偶函数的导数一定是奇函数吗

证明：设可导的偶函数f(x)，则f(-x)=f(x)。

两边求导：

f(-x)(-x)(x)

即f(-x)(-1)=f(x)

f(-x)=-f(x)

于是f(x)是奇函数

f(-x)(-1)=f(x)此处用复合函数求导法则由于[f(-x)](-x)(-x),而[f(x)](x)于是f(-x)=f(x)两边求导得f(-x)(-x)(x)。

奇函数偶函数的性质

奇函数的性质：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数，一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

4、当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

偶函数的性质：

1、偶函数的图象关于y轴对称。

2、在偶函数f(x)中，满足f(-x)=f(x)的条件。

3、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

4、如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么f(x)=0。

5、偶函数的定义域关于原点对称。