复数是高考必考小题，一般第 1‑3 题，难度很低，送分题。
复数标准形式：
z
=
a
+
bi（
a,
b
∈
R）
a：实部，
b：虚部；
i为虚数单位，
i
2
=
−1
一、基础概念
虚数单位：
i
2
=
−1
i的幂周期：
i
1
=
i,
i
2
=
−1,
i
3
=
−i,
i
4
=
1，周期为 4。
i
4n
=
1,
i
4n+1
=
i,
i
4n+2
=
−1,
i
4n+3
=
−i
分类
实数：
b
=
0，
z
=
a
虚数：
b
=
0
纯虚数：
z
=
bi
易错：
a
=
0只是纯虚数必要条件，必须
b
=
0。
共轭复数
z
=
a
+
bi 的共轭
z
=
a
−
bi
性质：
z
+
z
=
2a；
z
−
z
=
2bi；
z
⋅
z
=
a
2
+
b
2
复数相等
若
a
+
bi
=
c
+
di，则
a
=
c,
b
=
d（实部 = 实部，虚部 = 虚部）
复数的模
z
=
a
+
bi，模
∣z∣
=
a
2
+
b
2
重要性质：
∣z
1
⋅
z
2
∣
=
∣z
1
∣
⋅
∣z
2
∣；
z
2
z
1
=
∣z
2
∣
∣z
1
∣
∣z∣
2
=
z
⋅
z
二、复数四则运算（高考高频）
设
z
1
=
a
+
bi,
z
2
=
c
+
di
加减：
(a
+
bi)
±
(c
+
di)
=
(a
±
c)
+
(b
±
d)i
乘法：
(a
+
bi)(c
+
di)
=
(ac
−
bd)
+
(ad
+
bc)i
除法（必考重点）：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数
c+di
a+bi
=
(c+di)(c−di)
(a+bi)(c−di)
=
c
2+d
2
(ac+bd)+(bc−ad)i
做题套路：遇到分式复数，分母实数化。
三、复数的几何意义
复数
z
=
a
+
bi 对应复平面内点
Z(a,
b)，也对应向量
OZ
=
(a,
b)
∣z∣：复平面上点
Z到原点距离。
∣z
−
z
0
∣：复平面上两点之间距离。
例：
∣z
−
(1
+
2i)∣ 表示复数
z对应的点到点
(1,
2)的距离。
四、高频考点 & 易错点
纯虚数条件：实部 = 0，虚部≠0，很多同学漏掉虚部不为 0。
i的幂次，记住周期 4，快速化简高次幂。
除法一定要分母实数化，不要直接约分。
复数不能比较大小！只有实数可以比大小，虚数只能看相等、模长。
例：
3
+
2i
>
1
+
i 这种写法是错误。
共轭复数、模长计算经常结合在一起考。
五、高考常见题型
简单四则运算，求化简后的复数实部 / 虚部；
求共轭复数、复数的模；
利用复数相等求参数；
复平面几何意义，
∣z∣的几何含义；
i的幂的运算。
简单例题
例：计算
1
+
i
2
−
i
解：分子分母同乘
(1
−
i)
(1+i)(1−i)
(2−i)(1−i)
=
2
2−2i−i+i
2
=
2
1−3i
=
2
1
−
2
3
i
实部
2
1
，虚部
−
2
3
，模
(
2
1
)
2
+
(−
2
3
)
2
=
2
10
如果你需要，我可以给你整理一套复数高考真题小练习。
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