类似一元函数， 二元函数的极值与其偏导数密切相关． 以下讨论中， 我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在（即函数曲面处处光滑）． 如果二元函数在某点处对的偏导数都为零， 那么就叫做函数的驻点． 根据式 9 ， 驻点处各个方向的方向导数也都为零．
我们先来定义二元函数的极值点， 以驻点为圆心在平面上作一个圆形区域， 若当半径足够小时，是该圆形区域的最大值或最小值， 那么该驻点就是极大值点或极小值点． 与一元函数类似， 驻点不一定是极值点． 例如在坐标原点的两个一阶偏导都为零， 但原点并不是极值点． 为了判断驻点是不是极值点， 也需要用到二阶偏导（假设驻点处的各个二阶偏导都存在）． 如果满足
则驻点是极值点． 如果和都大于零1， 则极值为极小值， 若都小于零， 则极值为极大值．
证明
类比一元函数的证明， 要证明二元函数的某点是极值点， 就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2． 令某方向为 ， 由式 9 得该方向的方向导数为
再次求方向导数得二阶方向导数为
如果你还不习惯看算符的平方， 可以把上式的括号项平方看做两个括号项， 依次作用在函数上． 以极小值为例， 令上式恒大于零， 并除以得
上式左边是关于的二次函数， 若要恒大于零， 则二次项系数要大于零， 且判别式需小于零， 立即可得式 1 ． 同理可得极大值条件．
1. 根据式 1 ， 只需验证或中的任意一个大于零， 另外一个就必定大于零．
2. 否则延一个方向前进函数值会越来越大， 而延另一个方向前进函数值会越来越小， 这个点就不是极值点
